网上热搜:警察抓酒鬼的概率如何求?体检的意义何在?李永乐老师讲贝叶斯公式!

各位同學大家好 我是李永樂老師最近有許多小朋友給我發來私信詢問一道關於酒鬼被警察抓住的概率問題我們今天就來講一下這個問題首先我們來介紹一下這個題目這個問題是這樣的說有一個酒鬼 這個酒鬼特別喜歡喝酒他每一天都有90%的概率去喝酒他如果喝酒只會去三個酒吧 A
B C而且去每一個酒吧的概率都是相等的當然還有10%的概率在家裏呆着 哪也不去然後有一天警察就想抓住這個酒鬼於是就去酒吧去找 那麽他隨機去了兩家酒吧結果發現這兩個酒吧都沒有抓住
這個酒鬼他都不在所以兩個酒吧都沒有抓住於是他就去了第三個酒吧問他在第三個酒吧被抓住的概率有多大在第三個酒吧抓住這個酒鬼的概率有多大就這麽一個問題這個問題看起來好像也不是很復雜那麽之所以引發了這麽多爭議呢主要是因為有兩個不同的答案咱們來說一下這兩種解答第一種解答答案是75% 是怎麽得出來的呢他說你看一共是三個酒吧A B C
對吧這個三個酒吧加起來一共有90%的可能會抓住這個酒鬼因為酒鬼有90%的可能會在這三個酒吧裏而且每一個都是等概率的因此每個酒吧的概率都是30%還有10%的概率呢這酒鬼今天老實了在家裏呆着 對吧好 現在警察去了兩個酒吧甭管是哪兩個 可能是AB
可能是AC 可能是BC反正他去了兩個比如說是AB吧 都沒有抓住他所以酒鬼現在也不可能在前兩個了他只剩下C或者是在家裏了這樣的話他30%的可能是在C裏 一共只有40%的可能所以這個概率有多大呢這個概率應該是30%在第三個酒吧裏除以一共的概率40%
等於3/4 也就是75%這是第一個答案第二個答案說概率是90%在第三個酒吧抓住的概率是90% 為什麽呢他說你看這個酒鬼去三個酒吧的概率就是90%但是前兩個酒吧都沒人 對不對所以這個概率就被壓縮到第三個酒吧裏面去了因此他有90%的可能就在這第三個酒吧裏面
對吧這兩個觀點彼此爭執不下說這個問題已經在網上爭論了好幾天了那麽大家不妨也來思考一下這兩種解答哪個是正確的好 我們來看一下這個問題怎麽解為了理解這個問題呢我們首先得弄懂到底概率是什麽玩意兒概率你如果只發生一次 這個沒有辦法說概率概率必須是什麽呢 大量的同類事件比如說都是一樣的人
對吧或者是可重復事件 比如說一個人他重復的去酒吧這個時候一共發生了多少次呢 N次 一共發生了N次每一件事其實都一樣的其中有一個事件這個事件A它發生了M次那麽這個時候我們就說這個A的概率就等於多少呢就等於M/N
這個才能叫概率我們舉幾個例子比如說我們想知道男性患色盲的概率多大我們可以找N個男性 N這個數字要稍微大一些比如10000個然後我們檢查一下說這個男性裏邊有多少個色盲結果一看有M個人是色盲 我們用M/10000這個就是男性患色盲的概率再比如我們想知道這個5月5號下雨的概率多大我們就統計一下說歷史上100年裏面5月5號裏面有多少個是下雨的我們用這下雨的天數再除以100這個就是5月5號下雨的概率反正概率吧 你得是同類型或者可重復的你像這個人他重復地去酒吧連續去10000次
他就應該有3000次是去A3000次去B 3000次去C 對吧還有1000次家裏呆着而且概率上可以證明一件事 就是一件事情重復N次和N個同樣的事件同時發生是一回事兒舉個例子
你一張一張買彩票你連續買10000張中頭獎的概率和你一次買10000張彩票中頭獎的概率 當然是隨機買這概率其實是一樣的所以我們為了把這個問題簡化 我們幹脆就這樣假設我們假設有10000個酒鬼這10000個酒鬼他們分佈在ABC和家裏面那麽我問有多少個人會在A裏那是不是有3000個人 3000個酒鬼會在A裏3000個會在B
3000個會在C還有1000個酒鬼老實在家呆着 對吧假如說有一天是這樣好了 警察隨機去抽查隨機抽查的時候他隨便找哪兩個酒吧比如A和B吧 他都會抓住6000個酒鬼但是這6000個酒鬼不是他要的那我問你他要的酒鬼可能在哪些人中是不是可能在這4000個人中這4000個人中我問
這個人就在C中的概率多大那C有幾個人 有3000個人所以概率應該多大 顯而易見概率是3/4 也就是75%那有同學可能會有疑問了你看
你明明跟我說酒鬼喝酒的概率是90%現在前兩個酒吧裏沒有的話那麽他在C裏邊的概率不就應該是90%嗎因為他喝酒的概率就是90% 他如果喝酒就一定在C裏所以答案是90% 哪錯了這個問題在於90%是警察沒有檢查酒吧之前的概率而警察檢查這個過程就會改變概率說概率還能改變嗎 它可以改變我們舉個例子
比如說體檢我們每年都要做體檢 對吧說做體檢 為什麽呀因為我們要檢查有沒有病比如說我們檢查一個病沒有體檢的時候 根據醫療上的統計學我們知道我們患這種病的概率是1%我們檢查身體之後發現我們好像沒毛病那是不是我們就絕對不會患呢
不一定因為我們知道這個疾病就像酒鬼一樣它有很多很多種特徵 它就好像有很多很多個酒吧一樣於是你可能檢查其中的兩個酒吧 你發現好像沒有於是你認為自己是沒得病的但實際上這種病癥可能隱藏的第三個酒吧裏沒有查到 對不對但是這個檢查過程也是使我們增添了信心我們認為我們更加不容易患病了因為我們去了體檢
對不對所以這個體檢過程很有可能把你1%的患病概率降低為0.1%這就是檢查的作用你檢查完了之後你可能還是有患病的概率但是這個概率被降低了當然也有可能你查出病來那就去治療如果沒有查出的話 它改變了你這個得病的概率所以說警察檢查的過程會改變它這樣就是為什麽90%是不對的還有同學想讓我說能不能用這個更加普遍的方法來解答 當然是可以的這更加普遍的方法就叫貝葉斯公式貝葉斯公式也稱為條件概率公式那麽我們首先要定義一些事件比如說A1 A1就是這個酒鬼他今天去喝酒了A2就是他老老實實的在家呆着然後我們在定義事件B1B1就表示警察就查兩個酒吧
結果他被抓但是不是在第三個酒吧被抓的 而是在前兩個酒吧被抓的然後還有一個事件B2 這個B2表示他沒有被抓在前兩個酒吧裏沒有被抓到那麽我們就可以定義比如說條件概率了大家看這樣一個概率叫P(B1 A1)
這什麽意思P(B1 A1)中的A1叫條件 也就是說他已經去喝酒了在喝酒的條件下他被抓的概率是多大 這就叫條件概率那麽他去喝酒的話分佈在三個酒吧裏面
警察只查兩個所以這個概率應該是2/3 對吧我們再來看一個 比如說P(B2 A2)這是什麽意思這個意思就是說
在他在家的情況下沒有被抓的概率他已經是在家裏了他就不可能被抓所以這個概率就是100% 也就是1這就是條件概率的含義那麽貝葉斯公式告訴我們 你現在研究的問題是什麽是首先這個人他沒有被抓 對吧條件是B2在沒有被抓的情況下他的確在第三個酒吧裏喝酒
P(A1 B2)是這麽個問題這個概率有多大那麽貝葉斯公式就告訴我們這概率要這麽算怎麽算呢 首先分子是P(A1)P(B2 A1)分母是P(A1)P(B2
A1)+P(A2)P(B2 A2) 是這麽個事有人說這什麽玩意 咱們解釋一下上面這個P(A1)的意思就是你去喝酒了你去喝酒的概率再乘以你去喝酒的情況下你沒有被抓的概率這就是你在喝酒而且不被抓這麽個概率底下前一項跟上面是一樣的後一項就是你在家裏沒有喝酒
然後你沒有被抓的概率也就是說這個分子其實就是你喝酒卻沒有被抓這個分母就是你沒有被抓把它倆一除就是這個結果了那麽這個結果有多少呢咱們算一下P(A1)就是你去喝酒的概率0.9 對吧然後P(B2 A1)就是你在喝酒的情況下你沒有被抓的概率你喝酒的情況下你沒有被抓的概率只有1/3因為警察會查兩個酒吧分母是0.9×1/3+0.1 .
再乘以你在家的情況下沒有被抓那100%嘛 再乘以1所以這個分子是0.3 這個分母是0.4答案75%所以你無論用什麽方法去計算這個題的答案都是75%有同學把這個題跟我以前所講過的「三門問題」聯系起來了說有三個門 然後主持人什麽開一個不中獎的門這個問題這個問題和我們剛才說這事有什麽區別呢這區別在於在那個問題中主持人是知道哪個門後面沒有獎他故意開一個沒有獎的門但是這道題中的警察其實並不知道酒鬼在哪裏他是隨機抽查兩個酒吧所以這一查沒有他
那他就降低了這個酒鬼喝酒的概率了如果警察是跟酒鬼串通好的他就知道今天酒鬼不在前兩個酒吧然後就故意去前兩個酒吧查那這種情況下酒鬼出現在C的概率就是90%了這個是不一樣的大家如果喜歡我的視頻可以在西瓜視頻和YouTube帳號李永樂老師裏關註我